Testy konkursu międzynarodowego "KANGUR MATEMATYCZNY" dla poziomów Kadet, Junior oraz Student, wraz z odpowiedziami i rozwiązaniami tylko z roku 2025. Skład kolorowy. Ta książka jest uzupełnieniem (suplementem) do książek z serii "Matematyka z wesołym kangurem" z poziomu Kadet, Junior i Student. W książce znajdziesz: Testy konkursu międzynarodowego "Kangur Matematyczny" tylko z roku 2025 wraz z odpowiedziami!
Testy konkursu międzynarodowego "KANGUR MATEMATYCZNY" dla poziomów Żaczek, Maluch oraz Beniamin, wraz z odpowiedziami (dla wszystkich trzech) i rozwiązaniami(dla poziomu Maluch oraz Beniamin) tylko z roku 2025. Skład kolorowy. Ta książka jest uzupełnieniem (suplementem) do książek z serii "Matematyka z wesołym kangurem" z poziomu Żaczek, Maluch i Beniamin. W książce znajdziesz: Testy konkursu międzynarodowego "Kangur Matematyczny" tylko z roku 2025 wraz z odpowiedziami!
Czym zajmuje się matematyka?
Większości uczniów matematyka kojarzy się z poleceniem Oblicz (oblicz pole, wysokość, prędkość, prawdopodobieństwo . . . ) lub z pytaniem Ile? stojącym za poprzednim poleceniem (ile lat, ile trójkątów, ile liczb itp). I nic dziwnego. Tak sformułowane są niemal wszystkie zadania szkolne. Jednak zwykle nie tak wyglądają problemy, przed którymi staje zawodowy matematyk. Te bowiem są zwykle bardziej ogólne i abstrakcyjne. Zazwyczaj przypominają dobrze znane z różnych zawodów matematycznych zadania typu Udowodnij, że. . . . Stoi więc za nimi pytanie Dlaczego?.
Skąd jednak wiedzieć, co udowodnić? Owszem, istnieją w każdej dziedzinie pewne przypuszczenia, których do tej pory nie udało się ani udowodnić, ani obalić. Są to tak zwane hipotezy. Te najbardziej znane noszą nazwiska swoich autorów. Bywa ją takie, które pozostają otwarte przez setki lat.
Znacznie częściej jednak dowód poprzedza znalezienie nowej zależności. Często przyjmuje ona postać numeryczną (jak chociażby w twierdzeniu Pitagorasa), ale nie zawsze. Ciekawszym przypadkiem jest zauważenie, że dwa z pozoru różne obiekty są — przynajmniej pod pewnymi względami — podobne bądź wręcz takie same. Czasami zamiast szukać zależności między znanymi obiektami, szuka się nowych obiektów o pewnych właściwościach.
Wszystko to można zobaczyć w trzech prezentowanych miniaturach. Pierwsze dwie dotyczą kombinatoryki, czyli działu matematyki zajmującego się skończonymi strukturami. Najprostszą taką strukturą jest zbiór. W przypadku braku dalszych informacji jedynym sensownym pytaniem, jakie możemy zadać, jest pytanie o liczbę elementów. Znacznie ciekawiej wygląda sytuacja, gdy do zbioru dodamy dodatkowe informacje. Dodając do zbioru informację o pewnego rodzaju powiązaniach między jego elementami, otrzymujemy graf.
W drugiej miniaturze autorki zajmują się zadaniami dotyczącymi znajomości w pewnych grupach ludzi. Jest to właśnie taki sposób powiązania osób tworzących zbiór, który czyni z niego graf. Choć więc słowo graf w miniaturze nie pada, to w istocie jest ona poświęcona przykładom pytań, jakie możemy rozważać dla grafów.
Teoria grafów jest przykładem dziedziny w której łatwo można sformułować pytania, na które matematyka w dalszym ciągu nie zna odpowiedzi. Wnioskiem z jednego z pierwszych zadań jest, że w każdej grupie złożonej z przynajmniej 6 osób znajdą się trzy, które się wzajemnie znają lub trzy osoby, wśród których nie ma znajomych. W miarę łatwo można udowodnić coś ogólniejszego. Dla każdej liczby dodatniej n w dostatecznie dużej grupie osób znajdzie się n osób, które się wzajemnie znają lub n osób, wśród których nie ma żadnych znajomych. Pytanie, jak duża musi być ta grupa. Można pokazać, że dla n = 4 potrzeba i wystarczy 18 osób. Ale już dla n = 5 dokładna liczba potrzebnych osób nie jest znana. Wiadomo, że 42 osoby to zbyt mało, a 46 z pewnością wystarcza. Czy wystarcza ją 43 osoby, a może 44? Nie wiadomo.
Na pierwszy rzut oka może wydawać się zaskakujące, że nawet przy pomocy komputera nie można rozstrzygnąć, która z tych bądź co bądź niezbyt dużych liczb jest właściwa. Problemem jest liczba wszystkich możliwych układów znajomości w takich grupach, co powoduje, że przejrzenie wszystkich możliwości jest fizycznie niemożliwe.
W pierwszej miniaturze pojawia ją się jeszcze bardziej skomplikowane struktury kombinatoryczne związane z pewnymi grami. Pierwszymi grami, którymi zainteresowali się matematycy, były gry hazardowe, w których rolę odgrywa losowość. Tu jednak autor zajmuje się grami w swej naturze „kombinatorycznymi”, jak szachy czy kółko i krzyżyk, a więc grami, w których gracze kolejno wykonują pewne ruchy, wybierając jedną z być może wielu, ale skończenie wielu możliwości.
Mottem miniatury jest zdanie Henriego Poincare, słynnego francuskiego ...
Komitet organizacyjny konkursu Kangur Matematyczny od 30 lat przygotowuje corocznie zestaw książeczek pod wspólną nazwą Miniatury Matematyczne. Od długiego już czasu ustalił się zwyczaj, aby każda edycja składała się z czterech tomików — każdy przeznaczony dla uczniów w przedziałach wiekowych orientacyjnie odpowiadających kolejnym kategoriom konkursu. Części serii przygotowane z myślą o młodszych klasach na ogół stanowią pewną całość spiętą wspólnym tematem lub wspólną myślą przewodnią. Te zaś, które dedykowane są starszej młodzieży, z reguły składają się z trzech lub czterech opracowań różniących się tematyką — nieraz dość znacznie. Takim właśnie tomikiem jest niniejszy, skierowany głównie do uczniów najstarszych klas szkół podstawowych. Znajdują się w nim trzy artykuły różniące się tematyką, stylem a także stopniem trudności.
Pierwsza miniatura „Zastosowania kongruencji liczbowych” dotyczy, zgodnie z tytułem, pojęcia kongruencji i ich niektórych zastosowań. Początkowe rozdziały bazują na znanych ze szkoły informacjach dotyczących teorii podzielności liczb naturalnych, rozszerzając je na cały zbiór liczb całkowitych. Następnie autor wprowadza tytułowe pojęcie, a tym samym nową symbolikę wraz z zestawem reguł posługiwania się nią. Używanie nieznanego wcześniej języka opisu pojęć matematycznych jest zawsze trudne, dlatego treści teoretyczne opatrzone są wieloma przykładami liczbowymi. Kongruencje bardzo przydają się do zgrabnego zapisu rozwiązań problemów dotyczących podzielności i dzielenia z resztą liczb całkowitych, co autor pokazał w kolejnych rozdziałach swojego artykułu.
Kolejna miniatura o intrygującym tytule „Podchodzenie nieskończoności” przenosi Czytelnika w zupełnie inną część matematycznego uniwersum. Z dobrze znanego świata liczb całkowitych, w którym zarówno pojęcie wartości liczb jak i ich równości jest zrozumiałe, przechodzimy w rzeczywistość, w której pojęcia te przestają mieć swoje tradycyjne znaczenie. Na początku artykułu dowiadujemy się o tym, jak w przeszłych wiekach matematycy dochodzili do uznania konieczności wprowadzenia do rozważań naukowych obiektu abstrakcyjnego symbolizującego „wielkość” przewyższającą wartość każdej liczby. W czasach starożytnych przeczucie istnienia „jakiejś nieskończoności” było domeną takich dziedzin życia jak filozofia i religia, podczas gdy do wyrażenia ogromnej i trudno wyobrażalnej mnogości obiektów realnych używano nazw wielkich liczb nie zawsze zgodnych ze stanem faktycznym. W procesie rozwoju matematyki taki sposób opisu okazał się dla pewnych modeli niewystarczający, co doprowadziło do wprowadzenia pojęcia nieskończoności. Jednak pojęcie to nie jest łatwe do wyobrażenia, nie podlega tradycyjnym regułom porównywania wartości liczb i wykonywania obliczeń, dlatego dopóki nie zostało ono dookreślone w czasach nowożytnych, wielokrotnie „sprowadzało na manowce nawet tęgie głowy”, jak żartobliwie stwierdza autor. W dalszej części przedstawiono podstawy teoretyczne teorii zbiorów nieskończonych, podano przykłady takich zbiorów, a także wskazówki jak nieskończoną liczbę ich elementów uzasadniać. Miniatura ta jest najbardziej zaawansowana merytorycznie w całym tomiku i z powodzeniem może być również polecana licealistom.
Z wyobraźnią rozgrzaną rozważaniami o nieskończoności i gotową na dalszą gimnastykę Czytelnik przejdzie do lektury kolejnego artykułu o tytule „Wyobraźnia przestrzenna”. Tym razem jednak będziemy mogli skupić wzrok i myśl na rysunkach brył przestrzennych, a w razie potrzeby na modelach, które zawsze można wykonać, dotknąć i obejrzeć. Zamierzeniem autorki jest wypełnienie pewnej luki, jaką zauważa w programie szkolnym dotyczącym tej tematyki i pokazanie, że nawet przy pomocy najprostszych brył, takich jak prostopadłościany, można ilustrować wiele ciekawych zagadnień. Zadania prezentowane są wraz z rozwiązaniami i opatrzone rysunkami. Zostały one podzielone na kilka kategorii, z których każda kształtuje wyobraźnię przestrzenną w innym obszarze.
Na pytanie "ile jest liczb dwucyfrowych" każdy uczeń klasy czwartej powinien udzielić, po pewnym czasie, prawidłowej odpowiedzi. Znacznie trudniejszym jest problem, gdy to samo pytanie dotyczy liczb trzycyfrowych, z których każda jest zbudowana z różnych cyfr. Na tego typu pytanie i wiele innych dajemy odpowiedź w tej miniaturze i formułujemy ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Wcześniejsze zapoznanie z tą problematyką daje dobre podstawy do lepszego rozumienia w szkole średniej tematyki z zakresu kombinatoryki. Mimo że zadania są czasami formułowane na przykładach z życia codziennego, to niemal wszystkie dadzą się sprowadzić do liczenia obiektów liczbowych o określonych własnościach. Przy okazji dajemy możliwość wykorzystania pewnych faktów, które zwyczajowo są tematem lekcji matematyki. Całe opracowanie podzielone jest na części. 1) Poznanie pewnych standardowych metod pozwalających określić liczebność nawet bardzo dużych zbiorów. 2) Wybór zadań zbliżonych tematycznie do zadań występujących w konkursie "Kangur Matematyczny". W tej części występują też zadania o treści geometrycznej. Opracowanie to może również służyć pomocą tym nauczycielom, którzy prowadzą koła matematyczne dla uczniów szkoły podstawowej.
O czym jest ta książeczka. Tematem miniatury jest labirynt. To zagadnienie jest zaprezentowane w formie rozmów dzieci, Franka i Helenki, z ich przyjacielem Kangurem. Na wstępie jest mowa o mitycznych i historycznych wiadomościach o labiryncie. Poprzez pogadanki o popularnych w dobie obecnej labiryntach w terenie Czytelnicy poznają sposoby rozwiązywania zadań związanych z wędrówkami po labiryncie (rozwiązywanie labiryntów). Będą też nawiązania do matematyki i ćwiczenia tematyczne. Czytelnicy miniatury są miłośnikami matematyki, biorą udział w Kangurze i innych konkursach matematycznych. Dlatego ostatnie rozdziały niech im posłużą jako dobry trening przed kolejnymi zmaganiami z matematyką. Będą tam testy ułożone na wzór najpopularniejszego na świecie konkursu matematycznego dla uczniów, jakim jest Kangur Matematyczny. Oprócz wielu zadań autorskich, zestawy te zawierają też ciekawe zadania, które były propozycjami z różnych krajów do konkursu. W testach umieszczonych zostało także kilka zadań, które są w oficjalnym zestawie tegorocznego Kangura, a z pewnych względów do konkursu w polskiej wersji nie trafiły. Na końcu Czytelnik znajdzie wszystkie odpowiedzi i niektóre rozwiązania. Wielu wspaniałych zabaw w labiryntach i z labiryntami oraz przyjemnej lektury życzy autorka.
Testy konkursu międzynarodowego "KANGUR MATEMATYCZNY" wraz z rozwiązaniami, począwszy od 1993 roku dla poziomu wiekowego "BENIAMIN" (klasy 5 i 6 szkół podstawowych) . Całkiem nowy, ciekawy i kolorowy skład. Testy zadań konkursowych na inne poziomy znajdziesz w kolejnych tomach serii "Matematyka z wesołym Kangurem". Ta książka jest następcą tzw. "żółtego" kangura, który począwszy od roku 2015 został rozdzielony na dwie książki - osobną dla poziomu Maluch i Beniamin.W książce znajdziesz: Testy konkursu międzynarodowego "Kangur Matematyczny" z lat 1992-2024 wraz z kompletem rozwiązań dla wszystkich lat konkursowych! Książka oprawiona jest w okładkę zintegrowaną, szytą w raz z praktyczna tasiemką, która może służyć jako zakładka. Książka zawiera zadania, odpowiedzi oraz rozwiązania z Kangura Matematycznego dla poziomu Beniamin (klasy 5 i 6 szkół podstawowych) z lat 1992-2024.
Książeczka przeznaczona jest dla uczniów drugich klas szkół podstawowych, którzy chcą wziąć udział w matematycznym konkursie "Kangur matematyczny". Obecnie jest to największy konkurs matematyczny na świecie, w którym bierze udział ponad 3 miliony uczniów. Od 2012 konkurs matematyczny "Kangurek" zostaje włączony do konkursu "Kangur Matematyczny" - kategoria Żaczek. W tej książeczce znajdziecie wszystkie dotychczasowe testy konkursu "Kangurek", a także innych testów przygotowujących do tego konkursu. W tej książce znajdziecie przykładowe testy i odpowiedzi do nich. W tym roku zmieniliśmy okładkę, aby pasowała do reszty serii "Matematyka z wesołym Kangurem". Teraz książka oprawiona jest w okładkę zintegrowaną, szytą w raz z praktyczna tasiemką, która może służyć za zakładkę. Książka zawiera zadania oraz odpowiedzi z Kangura Matematycznego dla poziomu Żaczek (klasy 2 szkół podstawowych) z lat 2007-2024 + 6 dodatkowych zestawów przygotowawczych.
W latach 2025-2028 absolwenci szkół średnich będą zdawać maturę z matematyki według podstawy programowej określonej przez Ministra Edukacji w roku 2024.
Przygotowane przez nas arkusze mają budowę zgodną z informacjami Centralnej Komisji Egzaminacyjnej i zawierają:
- zadania jednokrotnego wyboru
- zadania wielokrotnego wyboru
- zadania typu prawda-fałsz
- zadania zamknięte dotyczące dowodzenia
- zadania z luką
- zadania otwarte krótkiej, jak i rozszerzonej odpowiedzi
- zadania otwarte dotyczące dowodzenia
- zadania będące wiązkami zadań
Zbiór zawiera wymagania egzaminacyjne, opisuje strukturę i formę egzaminu, a do wszystkich zadań podane są odpowiedzi i zasady ich punktowania.
Arkusz maturalny z matematyki na poziomie rozszerzonym zawiera 10 - 14 zadań, za które można uzyskać 50 punktów. W tej książce znajduje się 16 arkuszy maturalnych.
Nauka z naszymi arkuszami będzie bardzo dobrym treningiem przed wyzwaniem jakim jest matura na poziomie rozszerzonym.
W latach 2025-2028 absolwenci szkół średnich będą zdawać maturę z matematyki według podstawy programowej określonej przez Ministra Edukacji w roku 2024.
Przygotowane przez nas arkusze mają budowę zgodną z informacjami Centralnej Komisji Egzaminacyjnej i zawierają:
- zadania jednokrotnego wyboru
- zadania wielokrotnego wyboru
- zadania typu prawda-fałsz
- zadania zamknięte dotyczące dowodzenia
- zadania z luką
- zadania otwarte krótkiej, jak i rozszerzonej odpowiedzi
- zadania otwarte dotyczące dowodzenia
- zadania będące wiązkami zadań
Zbiór zawiera wymagania egzaminacyjne, opisuje strukturę i formę egzaminu. Do wszystkich zadań podane są odpowiedzi, a do zadań otwartych dodatkowo wskazane są zasady ich punktowania.
Arkusz maturalny z matematyki na poziomie podstawowym zawiera około 30 zadań, za które można uzyskać 50 punktów, a pozytywnym wynikiem egzaminu jest zdobycie 15 punktów. Książka zawiera 12 arkuszy.
Nauka z naszymi arkuszami będzie bardzo dobrym treningiem przed maturą.
W latach 2025-2028 absolwenci szkół średnich będą zdawać maturę z matematyki według okrojonej podstawy programowej określonej przez Ministra Edukacji w roku 2024.
Przygotowany przez nas zbiór zadań jest podzielony zgodnie z podstawą programową na 13 działów zawierających:
- wymagania egzaminacyjne
- zadania jednokrotnego wyboru
- zadania wielokrotnego wyboru
- zadania typu prawda-fałsz
- zadania zamknięte dotyczące dowodzenia
- zadania otwarte krótkiej, jak i rozszerzonej odpowiedzi
- zadania otwarte dotyczące dowodzenia
- zadania będące wiązkami zadań
Oprócz 1000 zadań do których podaliśmy odpowiedzi i zasady punktowania zadań otwartych dołączyliśmy 4 arkusze maturalne o budowie zgodnej z informatorem i przykładowymi arkuszami Centralnej Komisji Egzaminacyjnej.
Nauka z naszymi zbiorem ułatwi Ci osiągnąć sukces na egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym.
Będziemy wdzięczni za wszelkie uwagi dotyczące stopnia trudności, jak i zakresu badanych umiejętności.
Jedyny na polskim rynku zbiór z zadaniami pochodzącymi z międzynarodowych olimpiad matematycznych dla studentów, opracowany przez doświadczonych członków jury i wielokrotnych uczestników takich zawodów. Wszystkie zadania opatrzone są szczegółowymi rozwiązaniami, dlatego książka ta może zainteresować każdego, kto chce się zmierzyć z zadaniami olimpijskimi - niezależnie czy przygotowuje się do zawodów, chce lepiej zrozumieć analizę matematyczną i algebrę, nie wystarcza mu już szkolna matematyka czy kieruje nim czysta ciekawość.
Od Autorów:
W 2013 r. wydaliśmy pierwszą wersję „Zbioru zadań z analizy i algebry” ([21]). Książka ta zawierała około 260 ciekawych problemów wraz ze szczegółowymi rozwiązaniami. Zadania pochodziły przede wszystkim z międzynarodowych olimpiad matematycznych dla studentów: International Mathematics Competition for University Students ([30]), Vojtěch Jarník International Mathematical Competition ([29]), William Lowell Putnam Mathematical Competition ([28]).
Pozytywne przyjęcie pierwszej książki spowodowało podjęcie prac nad jej rozszerzoną edycją. Od wydania pierwszej wersji zbioru minęło ponad dziesięć lat. W tym czasie, pracując w rozszerzonym gronie czterech autorów, zebraliśmy nową partię zadań obejmujących zarówno analizę, jak i algebrę. W niniejszej rozszerzonej edycji zamieściliśmy około 90 nowych zadań z analizy matematycznej oraz około 40 nowych zadań z algebry, łącznie zbiór zawiera zatem około 400 zadań.
Większość nowych zadań została zaczerpnięta z obrad międzynarodowych jury przygotowujących zadania na zawody matematyczne Vojtěch Jarník International Mathematical Competition ([29]) oraz International Student Team Competition in Mathematics ([27]). Ponadto część zadań pochodzi z zajęć uniwersyteckich prowadzonych wspólnie przez Roberta Skibę i Daniela Strzeleckiego na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu. Zajęcia te są dedykowane studentom kierunków matematycznych i mają na celu przygotowanie ich do udziału w międzynarodowych konkursach
matematycznych.
Pracując nad wznowieniem zbioru, nanieśliśmy również wiele poprawek w zadaniach z pierwszej wersji. Obecna rozszerzona edycja ma też zmienioną numerację zadań. Informacje o usterkach otrzymaliśmy od studentów aktywnie korzystających z pierwszej wersji książki, którym w tym miejscu pragniemy gorąco podziękować. Uprzejmie prosimy Czytelników o przesyłanie uwag o zadaniach zawartych w tym zbiorze, innych sposobów na rozwiązanie oraz informacji o zauważonych błędach na adres robert.skiba@mat.umk.pl. Uważamy za swój miły obowiązek podziękować Wydawnictwu Aksjomat za wyrażenie zgody na wydanie „Zbioru zadań z analizy i algebry” w nowej, rozszerzonej i poprawionej odsłonie. Mamy wielką nadzieję, że obecne wydanie również spotka się z ciepłym przyjęciem wśród Czytelników.
Testy konkursu międzynarodowego "KANGUR MATEMATYCZNY" wraz z rozwiązaniami, począwszy od 1992 roku dla poziomu wiekowego "JUNIOR" (klasy III gimnazjów, I liceów i techników, I, II, III szkół branżowych) . Całkiem nowy, ciekawy i kolorowy skład. Testy zadań konkursowych na inne poziomy znajdziesz w kolejnych tomach serii "Matematyka z wesołym Kangurem". Ta książka jest następcą tzw. "niebieskiego" kangura, który począwszy od roku 2015 został rozdzielony na dwie książki - osobną dla poziomu Kadet i Junior. Książka zawiera zadania, odpowiedzi oraz rozwiązania z Kangura Matematycznego dla poziomu Junior (klasy III gimnazjów, I liceów i techników, I, II, III szkół branżowych) z lat 1992-2024.
Testy konkursu międzynarodowego "KANGUR MATEMATYCZNY" dla poziomów Kadet, Junior oraz Student, wraz z odpowiedziami i rozwiązaniami tylko z roku 2024. Skład kolorowy. Ta książka jest uzupełnieniem (suplementem) do książek z serii "Matematyka z wesołym kangurem" z poziomu Kadet, Junior i Student. W książce znajdziesz: Testy konkursu międzynarodowego "Kangur Matematyczny" tylko z roku 2024 wraz z odpowiedziami!
Testy konkursu międzynarodowego "KANGUR MATEMATYCZNY" dla poziomów Żaczek, Maluch oraz Beniamin, wraz z odpowiedziami (dla wszystkich trzech) i rozwiązaniami(dla poziomu Maluch oraz Beniamin) tylko z roku 2024. Skład kolorowy. Ta książka jest uzupełnieniem (suplementem) do książek z serii "Matematyka z wesołym kangurem" z poziomu Żaczek, Maluch i Beniamin. W książce znajdziesz: Testy konkursu międzynarodowego "Kangur Matematyczny" tylko z roku 2024 wraz z odpowiedziami!
Podobnie jak w poprzednich latach, Komitet Organizacyjny konkursu Kangur Matematyczny przygotował zestaw opracowań popularyzujących matematykę, zredagowanych w formie krótkich artykułów tradycyjnie już zwanych miniaturami. Niniejszy tomik, na który składają się trzy takie artykuły, dedykowany jest przede wszystkim uczniom szkół ponadpodstawowych, nauczycielom a także wszystkim pasjonatom matematyki. Tematyka tegorocznych miniatur jest bardzo różnorodna, liczymy więc na to, że każdy Czytelnik znajdzie coś dla siebie. W książce bowiem, obok geometrii, która pojawiała się w Miniaturach Matematycznych wielokrotnie, znajdują się również zagadnienia z obszaru logiki matematycznej oraz rachunku prawdopodobieństwa, które gościły na ich stronach nieco rzadziej. W pierwszym artykule, zatytułowanym ""Czy ktoś tu mówi prawdę?"", omówiona została pewna metoda rozwiązywania zadań o łotrach i rycerzach zamieszkujących fikcyjną wyspę. Te popularne łamigłówki rozwiązywane są często w sposób intuicyjny i stanowią świetną gimnastykę dla umysłu, uczą też porządkowania sposobów myślenia opartych na zdrowym rozsądku. Autorki podchodzą do prezentowanych zagadnień w sposób bardziej formalny, pokazując, że wiele z nich można rozwiązać, używając pojęć i symboliki logiki matematycznej. Drugi artykuł, o intrygującym tytule ""Pewien paradoks kostek do gry"" pokazuje, że nawet tak proste z pozoru przedmioty, jak kostki do gry, mogą mieć zaskakujące własności probabilistyczne - wystarczy tylko inaczej zaznaczyć oczka na ich ściankach. Autor w przystępny sposób prowadzi Czytelnika do zrozumienia pojęcia kostki ""silniejszej/słabszej"" od innej kostki oraz tytułowego paradoksu, który orzeka, że własność ""bycia kostką silniejszą/słabszą"" nie jest własnością przechodnią. Oznacza to, że istnieją trójki kostek, z których jedna jest silniejsza od drugiej i druga od trzeciej, ale jednocześnie trzecia nie jest wcale słabsza od tej pierwszej, co więcej jest od niej silniejsza. Można również konstruować zestawy złożone z większej liczby kostek o opisanej własności. Kostki takie noszą nazwę kostek Efrona. Ostatnia miniatura, zatytułowana ""O prostych i krzywych Simsona"", z pewnością zainteresuje miłośników geometrii. Punktem wyjścia do rozważań zaprezentowanych w artykule jest twierdzenie Wallace'a Simsona, z którego wiadomo, że każdy punkt leżący na okręgu opisanym na trójkącie wyznacza jedną jedyną prostą (zwaną prostą Simsona), przechodzącą przez rzuty prostokątne tego punktu na proste zawierające boki trójkąta. Autor prezentuje jak można uogólnić pojęcie prostej Simsona i skonstruować jej odpowiednik dla innych wielokątów wpisanych w okrąg oraz jakie ma ona wówczas własności. Aby ułatwić Czytelnikowi wyobrażenie nowo poznawanych pojęć, Autor zamieścił w miniaturze dużo rysunków wykonanych w znanych programach komputerowych.
Tomik Miniatur matematycznych, z którym Czytelnik w tej chwili się zapoznaje, odpowiada przede wszystkim kategorii Kadet. Nie znaczy to oczywiście, że uczniowie nieco młodsi lub też starsi nie znajdą w nim nic dla siebie. Znajdują się w nim trzy artykuły, które początkowo zdają się istotnie różnić od siebie tematyką. Po ich lekturze okazuje się jednak, że wszystkie dotyczą pewnych liczb, choć liczby te w każdej miniaturze pokazane są w innym ujęciu. Pierwsza miniatura skupia się wokół ważnej w geometrii liczby, oznaczanej literą p i obliczonej jako połowa obwodu wielokąta. Liczba ta wydaje się mało ciekawa - przecież zarówno w matematyce, jak również w sytuacjach rzeczywistych interesuje nas na ogół cały obwód. Rzadko potrzebujemy ogrodzić siatką tylko pół działki, czy obszyć tasiemką pół obrusu. Okazuje się jednak, że w wielu twierdzeniach geometrycznych to właśnie liczba stanowiąca połowę obwodu odgrywa dużą rolę. Autorka prezentuje wiele takich twierdzeń, większość z nich dotyczy trójkątów i ich pól, a także związków z promieniami okręgów wpisanych lub dopisanych do tych trójkątów. Twierdzenia podawane są z dowodami i opatrzone rysunkami. Kolejna miniatura odnosi się do pojęcia liczby niewymiernej, jej związku z liczbami wymiernymi - jej przybliżeniami oraz jej interpretacji jako długość odcinka. Autor skupia się na szczególnych typach liczb niewymiernych, mianowicie pierwiastkach liczb naturalnych, również spełniających dodatkowe warunki - na przykład będących liczbami pierwszymi. W artykule znajdują się propozycje rozumowań prowadzących do stwierdzeń o niewymierności wielu z nich, jak również wyników pewnych działań, w których występują. Jednak nie tylko aspekt algebraiczny tu znajdziemy. Tytuł wskazuje na to, że głównym celem Autora jest szukanie sposobów wyobrażenia sobie "wielkości" konkretnych liczb niewymiernych, któremu (oprócz obserwacji przybliżeń) sprzyjają konstrukcje odcinków o takich długościach - na przykład z użyciem twierdzenia Pitagorasa. Na koniec bardziej zaawansowany Czytelnik, znajdzie informacje o złotej liczbie i jej związku z liczbami Fibonacciego, co pokazuje, że nie tylko tworzymy liczby niewymierne z użyciem liczb naturalnych - na przykład pierwiastkując je, ale że również możliwy jest proces odwrotny i liczby naturalne mogą być wyrażone przez pewne działania na liczbach niewymiernych. Ostatnia miniatura również dotyczy liczb, jednak w jeszcze innym ujęciu. Mianowicie przedstawiono w niej podstawowe informacje o systemach pozycyjnych innych niż dziesiątkowy. Autor za główny cel postawił w niej opis działań pisemnych (dodawania i mnożenia) na liczbach naturalnych zapisanych w różnych systemach. Wiadomości przedstawiono na przykładach konkretnych liczb i z użyciem analogii do działań w systemie dziesiątkowym, co sprawia, że są one łatwiejsze do zrozumienia niż w ujęciu czysto teoretycznym. Miniatura ta, poza wiedzą matematyczną, ma również ukryty aspekt wychowawczy - pokazuje, że do sprawnego wykonywania rachunków pisemnych potrzebna jest pamięciowa znajomość tabliczki dodawania i mnożenia. Tabliczki takie zostały zamieszczone na końcu miniatury i mogą pełnić funkcję wygodnej ściągawki dla miłośników zabaw z liczbami. Życzymy przyjemnej lektury!
CZĘŚĆ I:
Książeczki z serii „Miniatury Matematyczne” trafiają najczęściej do uczniów, którzy startują w konkursach matematycznych i lubią rozwiązywać ciekawe zadania. Jedną z interesujących cech takich zadań jest to, że pozwalają one na zastosowanie do rozwiązania różnych metod, niekiedy bardzo nietypowych. Czasem taka metoda pozwala ułatwić rozumowanie, a czasem wręcz jest jedynym możliwym sposobem dla ucznia, który nie poznał jeszcze trudniejszych zagadnień.
W poprzednich latach przygotowałyśmy miniatury „Trzeba sobie pomagać” i „Każdy może pomóc”, które skierowane były do starszych uczniów.
Opisywały one, jak można w sposób nietypowy rozwiązywać różne zadania, korzystając z metod z zupełnie innego działu matematyki. Teraz chcemy pokazać, że można to zrobić również w zadaniach ze szkoły podstawowej.
Nasza miniatura poświęcona jest wykorzystaniu osi liczbowej do rozwiązywania zadań tekstowych. Będą wśród nich takie, które w starszych klasach rozwiązuje się za pomocą równań, a czasem nawet układów równań. Zajmiemy się także tak zwanymi zadaniami o przelewaniu.
Inspiracją do napisania tej miniatury są zadania z konkursu Liga Zadaniowa, prowadzonego dla uczniów klas szóstych i siódmych w województwie kujawsko-pomorskim. Część zadań w miniaturze pochodzi wprost ze spotkań konkursowych lub też z zestawów zadań przygotowawczych.
CZĘŚĆ II:
W prezentowanej miniaturze proponujemy Czytelnikom szereg ciekawych zadań, które często nazywane są łamigłówkami. Ze względu na wiek uczniów, do których kierujemy naszą miniaturę i stopień zaawansowania matematycznego, większość proponowanych zadań można rozwiązać, wykorzystując jedynie uzdolnienia i pomysły oraz zdrowy rozsądek i nie wymagają one zbyt zaawansowanej wiedzy matematycznej. Jednocześnie chcielibyśmy zaprosić wszystkich naszych Czytelników do wspólnego poszerzania naszej matematycznej wiedzy, rozwijania zdolności i umiejętności poprzez rozwiązywanie i rozważanie rozwiązań łamigłówek zaproponowanych przez nas.
W pierwszym rozdziale przytaczamy wiele łamigłówek różnego rodzaju i z różnych gałęzi matematyki. Łamigłówki te pogrupowaliśmy zgodnie z tematyką dotyczącą poszczególnych działów matematyki.
Nieco trudniejsze problemy pojawiają się przy odkrywaniu prawidłowości, które opisujemy w rozdziale drugim. W opisanych zagadnieniach chcemy odkryć prawidłowość, według której przebiega opisane zjawisko. Naszym zdaniem jest niezwykle ważne, by móc odkryć i opisać prawdziwą istotę danego problemu.
Związane z tymi zagadnieniami jest poszukiwanie prawdy, a także dowodzenie, że proponowane przez nas twierdzenia są rzeczywiście prawdziwe i słuszne. Pytania o co istotnie chodzi w problemie, który nas dotyka i dlaczego takie ma być rozwiązanie powinny towarzyszyć w codziennym życiu każdego z nas. Wyrabianie takich aktywności powinno być zadaniem szkoły. W niektórych zadaniach proponowanych przez nas nie będziemy w danym momencie dowodzić prawdziwości stawianej hipotezy, zadowolimy się tylko intuicyjnym uzasadnieniem. Z pełnymi dowodami prawdziwości rozwiązań niektórych zadań zapoznacie się w kolejnych latach nauki szkolnej.
Rozdział trzeci przypomina nam niektóre przykłady zadań z konkursu „Kangur Matematyczny”, które wiążą się z tematyką opisywanej miniatury. W rozdziale czwartym zamieszczamy odpowiedzi, rozwiązania lub ich szkice dla zadań zamieszczonych w prezentowanej miniaturze.
Mamy nadzieję, że proponowana miniatura będzie dobrym bodźcem w rozwijaniu zainteresowań matematycznych i jednocześnie uwrażliwi nas na poszukiwanie prawdy i dobra
O czym jest ta książeczka. Pierwsze jej rozdziały to połączenie tego, co dzieci lubią, a więc bajki i kreatywne zajęcia plastyczne, z tym co czasami lubią mniej — z matematyką. Bajka jest wprowadzeniem w główny temat miniatury, którym jest wstęga Möbiusa. Czytelnicy zapoznają się z tym obiektem matematycznym, poznają jego własności. W książeczce opisanych jest, krok po kroku, sporo zajęć praktycznych z papierowym modelem wstęgi. Byłoby zatem dobrze, gdyby Czytelnicy włączyli się w te zajęcia. Wystarczą przedmioty, które znajdą się w każdym biurku: papier, nożyczki, klej lub taśma klejąca, pisaki. Jeśli w zajęcia zaangażuje się kilka osób, świetna zabawa murowana.
Tradycyjnie ostatnie rozdziały miniatury mają posłużyć dzieciom do ćwiczeń i matematycznego treningu przed kolejnymi edycjami różnych konkursów, w tym Kangura Matematycznego. Testy dla grup Maluch i Beniamin są ułożone na wzór konkursu. Niektóre z zamieszczonych zadań są propozycjami z różnych krajów świata do tegorocznego konkursu. W zestawach są dwa zadania, które w tym roku uczniowie na całym świecie rozwiązywali podczas konkursu Kangur Matematyczny, jednak z pewnych względów nie zostały one zamieszczone podczas polskiej edycji. Na końcu są podane odpowiedzi i niektóre rozwiązania. Na ostatniej kartce Czytelnicy znajdą paski do wykonania modelu wstęg Möbiusa z zaznaczonymi miejscami ich sklejania oraz przecinania na dwie i trzy części. Przyjemnej zabawy ze wstęgą Möbiusa i miłych wrażeń z odkrywania jej tajemnic oraz zwycięskich zmagań z matematyką życzy autorka.
Testy konkursu międzynarodowego "KANGUR MATEMATYCZNY" dla poziomów Kadet, Junior oraz Student, wraz z odpowiedziami i rozwiązaniami tylko z roku 2022. Skład kolorowy. Ta książka jest uzupełnieniem (suplementem) do książek z serii "Matematyka z wesołym kangurem" z poziomu Kadet, Junior i Student. W książce znajdziesz: Testy konkursu międzynarodowego "Kangur Matematyczny" tylko z roku 2022 wraz z odpowiedziami!
Ten produkt jest zapowiedzią. Realizacja Twojego zamówienia ulegnie przez to wydłużeniu do czasu premiery tej pozycji. Czy chcesz dodać ten produkt do koszyka?
