Komitet organizacyjny konkursu Kangur Matematyczny od 30 lat przygotowuje corocznie zestaw książeczek pod wspólną nazwą Miniatury Matematyczne. Od długiego już czasu ustalił się zwyczaj, aby każda edycja składała się z czterech tomików — każdy przeznaczony dla uczniów w przedziałach wiekowych orientacyjnie odpowiadających kolejnym kategoriom konkursu. Części serii przygotowane z myślą o młodszych klasach na ogół stanowią pewną całość spiętą wspólnym tematem lub wspólną myślą przewodnią. Te zaś, które dedykowane są starszej młodzieży, z reguły składają się z trzech lub czterech opracowań różniących się tematyką — nieraz dość znacznie. Takim właśnie tomikiem jest niniejszy, skierowany głównie do uczniów najstarszych klas szkół podstawowych. Znajdują się w nim trzy artykuły różniące się tematyką, stylem a także stopniem trudności.
Pierwsza miniatura „Zastosowania kongruencji liczbowych” dotyczy, zgodnie z tytułem, pojęcia kongruencji i ich niektórych zastosowań. Początkowe rozdziały bazują na znanych ze szkoły informacjach dotyczących teorii podzielności liczb naturalnych, rozszerzając je na cały zbiór liczb całkowitych. Następnie autor wprowadza tytułowe pojęcie, a tym samym nową symbolikę wraz z zestawem reguł posługiwania się nią. Używanie nieznanego wcześniej języka opisu pojęć matematycznych jest zawsze trudne, dlatego treści teoretyczne opatrzone są wieloma przykładami liczbowymi. Kongruencje bardzo przydają się do zgrabnego zapisu rozwiązań problemów dotyczących podzielności i dzielenia z resztą liczb całkowitych, co autor pokazał w kolejnych rozdziałach swojego artykułu.
Kolejna miniatura o intrygującym tytule „Podchodzenie nieskończoności” przenosi Czytelnika w zupełnie inną część matematycznego uniwersum. Z dobrze znanego świata liczb całkowitych, w którym zarówno pojęcie wartości liczb jak i ich równości jest zrozumiałe, przechodzimy w rzeczywistość, w której pojęcia te przestają mieć swoje tradycyjne znaczenie. Na początku artykułu dowiadujemy się o tym, jak w przeszłych wiekach matematycy dochodzili do uznania konieczności wprowadzenia do rozważań naukowych obiektu abstrakcyjnego symbolizującego „wielkość” przewyższającą wartość każdej liczby. W czasach starożytnych przeczucie istnienia „jakiejś nieskończoności” było domeną takich dziedzin życia jak filozofia i religia, podczas gdy do wyrażenia ogromnej i trudno wyobrażalnej mnogości obiektów realnych używano nazw wielkich liczb nie zawsze zgodnych ze stanem faktycznym. W procesie rozwoju matematyki taki sposób opisu okazał się dla pewnych modeli niewystarczający, co doprowadziło do wprowadzenia pojęcia nieskończoności. Jednak pojęcie to nie jest łatwe do wyobrażenia, nie podlega tradycyjnym regułom porównywania wartości liczb i wykonywania obliczeń, dlatego dopóki nie zostało ono dookreślone w czasach nowożytnych, wielokrotnie „sprowadzało na manowce nawet tęgie głowy”, jak żartobliwie stwierdza autor. W dalszej części przedstawiono podstawy teoretyczne teorii zbiorów nieskończonych, podano przykłady takich zbiorów, a także wskazówki jak nieskończoną liczbę ich elementów uzasadniać. Miniatura ta jest najbardziej zaawansowana merytorycznie w całym tomiku i z powodzeniem może być również polecana licealistom.
Z wyobraźnią rozgrzaną rozważaniami o nieskończoności i gotową na dalszą gimnastykę Czytelnik przejdzie do lektury kolejnego artykułu o tytule „Wyobraźnia przestrzenna”. Tym razem jednak będziemy mogli skupić wzrok i myśl na rysunkach brył przestrzennych, a w razie potrzeby na modelach, które zawsze można wykonać, dotknąć i obejrzeć. Zamierzeniem autorki jest wypełnienie pewnej luki, jaką zauważa w programie szkolnym dotyczącym tej tematyki i pokazanie, że nawet przy pomocy najprostszych brył, takich jak prostopadłościany, można ilustrować wiele ciekawych zagadnień. Zadania prezentowane są wraz z rozwiązaniami i opatrzone rysunkami. Zostały one podzielone na kilka kategorii, z których każda kształtuje wyobraźnię przestrzenną w innym obszarze.
Podobnie jak w poprzednich latach, Komitet Organizacyjny konkursu Kangur Matematyczny przygotował zestaw opracowań popularyzujących matematykę, zredagowanych w formie krótkich artykułów tradycyjnie już zwanych miniaturami. Niniejszy tomik, na który składają się trzy takie artykuły, dedykowany jest przede wszystkim uczniom szkół ponadpodstawowych, nauczycielom a także wszystkim pasjonatom matematyki. Tematyka tegorocznych miniatur jest bardzo różnorodna, liczymy więc na to, że każdy Czytelnik znajdzie coś dla siebie. W książce bowiem, obok geometrii, która pojawiała się w Miniaturach Matematycznych wielokrotnie, znajdują się również zagadnienia z obszaru logiki matematycznej oraz rachunku prawdopodobieństwa, które gościły na ich stronach nieco rzadziej. W pierwszym artykule, zatytułowanym ""Czy ktoś tu mówi prawdę?"", omówiona została pewna metoda rozwiązywania zadań o łotrach i rycerzach zamieszkujących fikcyjną wyspę. Te popularne łamigłówki rozwiązywane są często w sposób intuicyjny i stanowią świetną gimnastykę dla umysłu, uczą też porządkowania sposobów myślenia opartych na zdrowym rozsądku. Autorki podchodzą do prezentowanych zagadnień w sposób bardziej formalny, pokazując, że wiele z nich można rozwiązać, używając pojęć i symboliki logiki matematycznej. Drugi artykuł, o intrygującym tytule ""Pewien paradoks kostek do gry"" pokazuje, że nawet tak proste z pozoru przedmioty, jak kostki do gry, mogą mieć zaskakujące własności probabilistyczne - wystarczy tylko inaczej zaznaczyć oczka na ich ściankach. Autor w przystępny sposób prowadzi Czytelnika do zrozumienia pojęcia kostki ""silniejszej/słabszej"" od innej kostki oraz tytułowego paradoksu, który orzeka, że własność ""bycia kostką silniejszą/słabszą"" nie jest własnością przechodnią. Oznacza to, że istnieją trójki kostek, z których jedna jest silniejsza od drugiej i druga od trzeciej, ale jednocześnie trzecia nie jest wcale słabsza od tej pierwszej, co więcej jest od niej silniejsza. Można również konstruować zestawy złożone z większej liczby kostek o opisanej własności. Kostki takie noszą nazwę kostek Efrona. Ostatnia miniatura, zatytułowana ""O prostych i krzywych Simsona"", z pewnością zainteresuje miłośników geometrii. Punktem wyjścia do rozważań zaprezentowanych w artykule jest twierdzenie Wallace'a Simsona, z którego wiadomo, że każdy punkt leżący na okręgu opisanym na trójkącie wyznacza jedną jedyną prostą (zwaną prostą Simsona), przechodzącą przez rzuty prostokątne tego punktu na proste zawierające boki trójkąta. Autor prezentuje jak można uogólnić pojęcie prostej Simsona i skonstruować jej odpowiednik dla innych wielokątów wpisanych w okrąg oraz jakie ma ona wówczas własności. Aby ułatwić Czytelnikowi wyobrażenie nowo poznawanych pojęć, Autor zamieścił w miniaturze dużo rysunków wykonanych w znanych programach komputerowych.
Do CzytelnikówW skład tegorocznego tomiku miniatur dla szkół średnich weszły cztery artykuły. Pierwszy z nich poświęcony jest paraboli. Ze wszystkich kształtów obłych badanych przez matematyków greckich w starożytności w geometrii szkolnej zachował się jedynie okrąg. I to wcale nie dlatego, że inne kształty okazały się nieistotne lub nieużyteczne. Wystarczy przypomnieć, że Ziemia obiega Słońce po elipsie, że gdyby zaniedbać opór powietrza, to wystrzelony pocisk lub kanapka strącona ze stołu poruszałyby się po paraboli i że z powodów czysto geometrycznych najbardziej pożądanym kształtem powierzchni odbijającej (czy to w reflektorze samochodowym, czy to w antenie satelitarnej) jest powierzchnia o przekroju parabolicznym. Uczeń współczesnej szkoły poznaje parabolę jako wykres funkcji kwadratowej i kojarzy ją raczej z algebrą niż z geometrią. Nie jest świadom, że w starożytności zdefiniowano ją w sposób czysto geometryczny i udowodniono wiele jej własności. Czy przyczyną tego stanu rzeczy była trudność w wykreśleniu paraboli w zeszycie? Dzisiaj, gdy uczeń coraz chętniej zamienia papier i cyrkiel na ekran laptopa i program graficzny, ta przeszkoda znika. Autor, doświadczony nauczyciel geometrii pokoleń uczniów i studentów, proponuje Wam wspólne, wspomagane komputerowo odkrywanie geometrii paraboli.Druga miniatura nosi nieco mylący tytuł Trzeba sobie pomagać. Nie chodzi tu jednak o stosunki międzyludzkie i kooperacją, a o pomaganie sobie przy rozwiązywaniu zadań dotyczących jednego działu matematyki metodami wziętymi z zupełnie innego, czasami pozornie bardzo odległego działu. Autorki na przykładzie zadań pochodzących z różnych olimpiad i konkursów pokazują, jak można rozwiązać problem sformułowany czysto geometrycznie za pomocą metod algebraicznych i odwrotnie, jak użyć geometrii do rozwiązania problemów algebraicznych. Taki przepływ metod i idei nie jest rzeczą wyjątkową i zwykle prowadzi do ciekawych wniosków, a czasami do powstania nowych dziedzin matematyki oprócz znanej ze szkoły geometrii analitycznej mamy na przykład geometrię algebraiczną i analityczną teorię liczb.W następnej miniaturze nie znajdziecie ani zadań szkolnych, ani konkursowych, ani nawet twierdzeń, które mogą okazać się przydatne do ich rozwiązana. Została ona pomyślana jako opowieść o tym, co obecnie dzieje się w matematyce oczywiście nie w całej matematyce, a jedynie na pewnym, wybranym odcinku. Tym odcinkiem jest tak zwana teoria złożoności zajmująca się w pewnym uproszczeniu pytaniem, co można obliczyć za pomocą komputerów. A że jest to raczej opowieść niż wykład, nie zrażajcie się, jeśli pewne szczegóły wydadzą się Wam niejasne i spróbujcie mimo to doczytać ją do końca.Ostatnia miniatura traktuje o pewnych trójkątach liczbowych. Najsłynniejszy z nich zwany jest trójkątem Pascala, gdyż siedemnastowieczny francuski matematyk i filozof francuski Błażej Pascal poświęcił mu kilka prac. Liczby pojawiające się w tym trójkącie mają zarówno interpretację algebraiczną jak i kombinatoryczną i autorzy używają obu interpretacji do dowodu pewnych własności tych liczb. Mniej znany jest trójkąt nazwany nazwiskiem innego siedemnastowiecznego matematyka i filozofa, tym razem niemieckiego, Gottfrieda Wilhelma Leibniza. Jakkolwiek liczby występujące w obu trójkątach są ze sobą ściśle powiązane, to trójkąt Leibniza odegrał istotną rolę w rozwoju innej dziedziny matematyki, tak zwanej analizy matematycznej.
Ten produkt jest zapowiedzią. Realizacja Twojego zamówienia ulegnie przez to wydłużeniu do czasu premiery tej pozycji. Czy chcesz dodać ten produkt do koszyka?
