Czym zajmuje się matematyka?
Większości uczniów matematyka kojarzy się z poleceniem Oblicz (oblicz pole, wysokość, prędkość, prawdopodobieństwo . . . ) lub z pytaniem Ile? stojącym za poprzednim poleceniem (ile lat, ile trójkątów, ile liczb itp). I nic dziwnego. Tak sformułowane są niemal wszystkie zadania szkolne. Jednak zwykle nie tak wyglądają problemy, przed którymi staje zawodowy matematyk. Te bowiem są zwykle bardziej ogólne i abstrakcyjne. Zazwyczaj przypominają dobrze znane z różnych zawodów matematycznych zadania typu Udowodnij, że. . . . Stoi więc za nimi pytanie Dlaczego?.
Skąd jednak wiedzieć, co udowodnić? Owszem, istnieją w każdej dziedzinie pewne przypuszczenia, których do tej pory nie udało się ani udowodnić, ani obalić. Są to tak zwane hipotezy. Te najbardziej znane noszą nazwiska swoich autorów. Bywa ją takie, które pozostają otwarte przez setki lat.
Znacznie częściej jednak dowód poprzedza znalezienie nowej zależności. Często przyjmuje ona postać numeryczną (jak chociażby w twierdzeniu Pitagorasa), ale nie zawsze. Ciekawszym przypadkiem jest zauważenie, że dwa z pozoru różne obiekty są — przynajmniej pod pewnymi względami — podobne bądź wręcz takie same. Czasami zamiast szukać zależności między znanymi obiektami, szuka się nowych obiektów o pewnych właściwościach.
Wszystko to można zobaczyć w trzech prezentowanych miniaturach. Pierwsze dwie dotyczą kombinatoryki, czyli działu matematyki zajmującego się skończonymi strukturami. Najprostszą taką strukturą jest zbiór. W przypadku braku dalszych informacji jedynym sensownym pytaniem, jakie możemy zadać, jest pytanie o liczbę elementów. Znacznie ciekawiej wygląda sytuacja, gdy do zbioru dodamy dodatkowe informacje. Dodając do zbioru informację o pewnego rodzaju powiązaniach między jego elementami, otrzymujemy graf.
W drugiej miniaturze autorki zajmują się zadaniami dotyczącymi znajomości w pewnych grupach ludzi. Jest to właśnie taki sposób powiązania osób tworzących zbiór, który czyni z niego graf. Choć więc słowo graf w miniaturze nie pada, to w istocie jest ona poświęcona przykładom pytań, jakie możemy rozważać dla grafów.
Teoria grafów jest przykładem dziedziny w której łatwo można sformułować pytania, na które matematyka w dalszym ciągu nie zna odpowiedzi. Wnioskiem z jednego z pierwszych zadań jest, że w każdej grupie złożonej z przynajmniej 6 osób znajdą się trzy, które się wzajemnie znają lub trzy osoby, wśród których nie ma znajomych. W miarę łatwo można udowodnić coś ogólniejszego. Dla każdej liczby dodatniej n w dostatecznie dużej grupie osób znajdzie się n osób, które się wzajemnie znają lub n osób, wśród których nie ma żadnych znajomych. Pytanie, jak duża musi być ta grupa. Można pokazać, że dla n = 4 potrzeba i wystarczy 18 osób. Ale już dla n = 5 dokładna liczba potrzebnych osób nie jest znana. Wiadomo, że 42 osoby to zbyt mało, a 46 z pewnością wystarcza. Czy wystarcza ją 43 osoby, a może 44? Nie wiadomo.
Na pierwszy rzut oka może wydawać się zaskakujące, że nawet przy pomocy komputera nie można rozstrzygnąć, która z tych bądź co bądź niezbyt dużych liczb jest właściwa. Problemem jest liczba wszystkich możliwych układów znajomości w takich grupach, co powoduje, że przejrzenie wszystkich możliwości jest fizycznie niemożliwe.
W pierwszej miniaturze pojawia ją się jeszcze bardziej skomplikowane struktury kombinatoryczne związane z pewnymi grami. Pierwszymi grami, którymi zainteresowali się matematycy, były gry hazardowe, w których rolę odgrywa losowość. Tu jednak autor zajmuje się grami w swej naturze „kombinatorycznymi”, jak szachy czy kółko i krzyżyk, a więc grami, w których gracze kolejno wykonują pewne ruchy, wybierając jedną z być może wielu, ale skończenie wielu możliwości.
Mottem miniatury jest zdanie Henriego Poincare, słynnego francuskiego ...
Komitet organizacyjny konkursu Kangur Matematyczny od 30 lat przygotowuje corocznie zestaw książeczek pod wspólną nazwą Miniatury Matematyczne. Od długiego już czasu ustalił się zwyczaj, aby każda edycja składała się z czterech tomików — każdy przeznaczony dla uczniów w przedziałach wiekowych orientacyjnie odpowiadających kolejnym kategoriom konkursu. Części serii przygotowane z myślą o młodszych klasach na ogół stanowią pewną całość spiętą wspólnym tematem lub wspólną myślą przewodnią. Te zaś, które dedykowane są starszej młodzieży, z reguły składają się z trzech lub czterech opracowań różniących się tematyką — nieraz dość znacznie. Takim właśnie tomikiem jest niniejszy, skierowany głównie do uczniów najstarszych klas szkół podstawowych. Znajdują się w nim trzy artykuły różniące się tematyką, stylem a także stopniem trudności.
Pierwsza miniatura „Zastosowania kongruencji liczbowych” dotyczy, zgodnie z tytułem, pojęcia kongruencji i ich niektórych zastosowań. Początkowe rozdziały bazują na znanych ze szkoły informacjach dotyczących teorii podzielności liczb naturalnych, rozszerzając je na cały zbiór liczb całkowitych. Następnie autor wprowadza tytułowe pojęcie, a tym samym nową symbolikę wraz z zestawem reguł posługiwania się nią. Używanie nieznanego wcześniej języka opisu pojęć matematycznych jest zawsze trudne, dlatego treści teoretyczne opatrzone są wieloma przykładami liczbowymi. Kongruencje bardzo przydają się do zgrabnego zapisu rozwiązań problemów dotyczących podzielności i dzielenia z resztą liczb całkowitych, co autor pokazał w kolejnych rozdziałach swojego artykułu.
Kolejna miniatura o intrygującym tytule „Podchodzenie nieskończoności” przenosi Czytelnika w zupełnie inną część matematycznego uniwersum. Z dobrze znanego świata liczb całkowitych, w którym zarówno pojęcie wartości liczb jak i ich równości jest zrozumiałe, przechodzimy w rzeczywistość, w której pojęcia te przestają mieć swoje tradycyjne znaczenie. Na początku artykułu dowiadujemy się o tym, jak w przeszłych wiekach matematycy dochodzili do uznania konieczności wprowadzenia do rozważań naukowych obiektu abstrakcyjnego symbolizującego „wielkość” przewyższającą wartość każdej liczby. W czasach starożytnych przeczucie istnienia „jakiejś nieskończoności” było domeną takich dziedzin życia jak filozofia i religia, podczas gdy do wyrażenia ogromnej i trudno wyobrażalnej mnogości obiektów realnych używano nazw wielkich liczb nie zawsze zgodnych ze stanem faktycznym. W procesie rozwoju matematyki taki sposób opisu okazał się dla pewnych modeli niewystarczający, co doprowadziło do wprowadzenia pojęcia nieskończoności. Jednak pojęcie to nie jest łatwe do wyobrażenia, nie podlega tradycyjnym regułom porównywania wartości liczb i wykonywania obliczeń, dlatego dopóki nie zostało ono dookreślone w czasach nowożytnych, wielokrotnie „sprowadzało na manowce nawet tęgie głowy”, jak żartobliwie stwierdza autor. W dalszej części przedstawiono podstawy teoretyczne teorii zbiorów nieskończonych, podano przykłady takich zbiorów, a także wskazówki jak nieskończoną liczbę ich elementów uzasadniać. Miniatura ta jest najbardziej zaawansowana merytorycznie w całym tomiku i z powodzeniem może być również polecana licealistom.
Z wyobraźnią rozgrzaną rozważaniami o nieskończoności i gotową na dalszą gimnastykę Czytelnik przejdzie do lektury kolejnego artykułu o tytule „Wyobraźnia przestrzenna”. Tym razem jednak będziemy mogli skupić wzrok i myśl na rysunkach brył przestrzennych, a w razie potrzeby na modelach, które zawsze można wykonać, dotknąć i obejrzeć. Zamierzeniem autorki jest wypełnienie pewnej luki, jaką zauważa w programie szkolnym dotyczącym tej tematyki i pokazanie, że nawet przy pomocy najprostszych brył, takich jak prostopadłościany, można ilustrować wiele ciekawych zagadnień. Zadania prezentowane są wraz z rozwiązaniami i opatrzone rysunkami. Zostały one podzielone na kilka kategorii, z których każda kształtuje wyobraźnię przestrzenną w innym obszarze.
Na pytanie "ile jest liczb dwucyfrowych" każdy uczeń klasy czwartej powinien udzielić, po pewnym czasie, prawidłowej odpowiedzi. Znacznie trudniejszym jest problem, gdy to samo pytanie dotyczy liczb trzycyfrowych, z których każda jest zbudowana z różnych cyfr. Na tego typu pytanie i wiele innych dajemy odpowiedź w tej miniaturze i formułujemy ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania. Wcześniejsze zapoznanie z tą problematyką daje dobre podstawy do lepszego rozumienia w szkole średniej tematyki z zakresu kombinatoryki. Mimo że zadania są czasami formułowane na przykładach z życia codziennego, to niemal wszystkie dadzą się sprowadzić do liczenia obiektów liczbowych o określonych własnościach. Przy okazji dajemy możliwość wykorzystania pewnych faktów, które zwyczajowo są tematem lekcji matematyki. Całe opracowanie podzielone jest na części. 1) Poznanie pewnych standardowych metod pozwalających określić liczebność nawet bardzo dużych zbiorów. 2) Wybór zadań zbliżonych tematycznie do zadań występujących w konkursie "Kangur Matematyczny". W tej części występują też zadania o treści geometrycznej. Opracowanie to może również służyć pomocą tym nauczycielom, którzy prowadzą koła matematyczne dla uczniów szkoły podstawowej.
O czym jest ta książeczka. Tematem miniatury jest labirynt. To zagadnienie jest zaprezentowane w formie rozmów dzieci, Franka i Helenki, z ich przyjacielem Kangurem. Na wstępie jest mowa o mitycznych i historycznych wiadomościach o labiryncie. Poprzez pogadanki o popularnych w dobie obecnej labiryntach w terenie Czytelnicy poznają sposoby rozwiązywania zadań związanych z wędrówkami po labiryncie (rozwiązywanie labiryntów). Będą też nawiązania do matematyki i ćwiczenia tematyczne. Czytelnicy miniatury są miłośnikami matematyki, biorą udział w Kangurze i innych konkursach matematycznych. Dlatego ostatnie rozdziały niech im posłużą jako dobry trening przed kolejnymi zmaganiami z matematyką. Będą tam testy ułożone na wzór najpopularniejszego na świecie konkursu matematycznego dla uczniów, jakim jest Kangur Matematyczny. Oprócz wielu zadań autorskich, zestawy te zawierają też ciekawe zadania, które były propozycjami z różnych krajów do konkursu. W testach umieszczonych zostało także kilka zadań, które są w oficjalnym zestawie tegorocznego Kangura, a z pewnych względów do konkursu w polskiej wersji nie trafiły. Na końcu Czytelnik znajdzie wszystkie odpowiedzi i niektóre rozwiązania. Wielu wspaniałych zabaw w labiryntach i z labiryntami oraz przyjemnej lektury życzy autorka.
Ten produkt jest zapowiedzią. Realizacja Twojego zamówienia ulegnie przez to wydłużeniu do czasu premiery tej pozycji. Czy chcesz dodać ten produkt do koszyka?
